PINN是什么？

本质上依然是神经网络，但是又把物理方程作为限制加入神经网络中使训练的结果满足物理规律。通过把物理方程的迭代前后的差值加到神经网络的损失函数里面去，让物理方程也“参与”到了训练过程。这样，神经网络在训练迭代时候优化的不仅仅是网络自己的损失函数，还有物理方程每次迭代的差，使得最后训练出来的结果就满足物理规律。相对于其他普通的神经网络，PINN的形状为：

前部分和一般的神经网络相同，在输出层输出u之后还需要对u进行求偏导（按照物理公式改变）。PINN的损失函数是由n个等式构成的（各物理公式转化为损失值，再进行相加）。

代码部分

PINN的大体框架代码为：

• 导入需要的包，这里使用tensorflow2.0作为例子（pytorch也可以，只是代码会有一些不同而已）

import tensorflow as tf
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

• 定义神经网络层（我的理解是，和普通的神经网络类似）

# 定义 PINN 模型
class PINN(tf.keras.Model):
    def __init__(self):
        super(PINN, self).__init__()
        self.dense1 = tf.keras.layers.Dense(50, activation='tanh')
        self.dense2 = tf.keras.layers.Dense(50, activation='tanh')
        self.dense3 = tf.keras.layers.Dense(1)

    def call(self, x):
        x = self.dense1(x)
        x = self.dense2(x)
        x = self.dense3(x)
        return x

• 定义损失函数，这里的损失函数就是方程或公式，这里以Laplace方程为例

# 定义损失函数
def loss_fn(model, boundary_data, generated_data):
    boundary_loss = tf.reduce_mean(tf.square(model(boundary_data) - boundary_condition(boundary_data)))
    generated_loss = tf.reduce_mean(tf.square(model(generated_data)))
    return boundary_loss + generated_loss

• 生成数据，由于PINN是没有训练数据的，因此在此生成数据（按照xy的范围生成）

# 生成边界数据
boundary_data = np.random.rand(100, 3)  # 100个随机边界点
boundary_data = tf.constant(boundary_data, dtype=tf.float32)

# 生成自适应数据
generated_data = np.random.rand(200, 3)  # 200个随机数据点
generated_data = tf.constant(generated_data, dtype=tf.float32)

• 做完这些操作之后，接下来就是训练模型，这里就不过多解释了

# 定义优化器
optimizer = tf.keras.optimizers.Adam(learning_rate=0.001)

# 训练 PINN 模型
epochs = 5000

for epoch in range(epochs):
    with tf.GradientTape() as tape:
        loss = loss_fn(model, boundary_data, generated_data)

    gradients = tape.gradient(loss, model.trainable_variables)
    optimizer.apply_gradients(zip(gradients, model.trainable_variables))

    if epoch % 100 == 0:
        print(f"Epoch {epoch}, Loss: {loss.numpy()}")

• 最后将其可视化，查看结果

# 三维可视化
x = np.linspace(0, 1, 50)
y = np.linspace(0, 1, 50)
z = np.linspace(0, 1, 50)
X, Y, Z = np.meshgrid(x, y, z)
input_data = np.array(list(zip(X.ravel(), Y.ravel(), Z.ravel())))
input_data = tf.constant(input_data, dtype=tf.float32)
output = model(input_data)

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.scatter(X, Y, Z, c=output.numpy().reshape(X.shape), cmap='viridis')
plt.show()

总结：

PINN的本质其实就是神经网络，不同点就是将物理公式内嵌入了该网络之中。具体表现就是自定义损失函数，使其与公式关联（再次可以通过2范数等进行约束）